<시리즈> 첨단컴퓨터의 세계(167)

프랙탈(Fractal)에 관한 연구는 1970년대에 들어 리(Lee)와 여크(Yourk)가 공동으로 발표한 수학 논문에서 출발하였으며 1975년 만델브로트(Mandel-br ot)가 발표한 프랙탈 기하학이 프랙탈의 본격적인 시발점으로 보인다. 특히 만델브로트가 "Fr-actals on Object"란 저서에서 카오스현상과 프랙탈이 근본적으로는 동일한 대상이라는 점을 발표하여 크나큰 관심을 끌었다.

나무, 해안가, 구름 등의 자연물들은 프랙탈의 현상을 가진 것으로 여겨지는데 현재는 컴퓨터 시뮬레이션을 통하여 수식을 그래픽으로 표현하고 있다.

프랙탈은 여러가지 방법으로 정의되고 있다. 그 중의 하나는 프랙탈을 컴퓨터를 이용하여 수학방정식으로 형상화하는 단계에서 나타나는 기하학적 시각 미로 여기는 관점이다. 실세계에 존재하는 대상물들을 순환적인 수학식을 이용해 컴퓨터를 통하여 그리는 것이다.

카오스와 프랙탈에 대한 관심과 열기가 큰 이유로는 두가지가 있다.

첫째,혼돈으로 보이는 현상을 수학방정식으로 모델링할 수 있다는 기대감이 다. 우리는 아무리 복잡한 현상이라도 일단 수학적 방정식으로 표현할 수 있다면 고속의 정보처리가 가능한 요즈음의 컴퓨터를 이용하여 문제를 해결할 수 있다. 예전에는 문제해결에 많은 시간이 걸리는 다차원의 방정식인 경우에는 고려대상에서 제외하기도 했으나 지금은 일단 수학적 모델링이 가능하다면 풀 수 있는 문제로 여기고 있다.

둘째, 카오스이론은 프랙탈을 이용하여 수학을 가시화하는 일을 가능하게 한다. 프랙탈에서의 반복적인 연산을 통해 간단한 방정식을 이용하여 다양한 형태의 그림을 표현할 수 있기 때문이다. 특히 프랙탈을 통해서 본 무질서속 의 질서를 규명하는데 있어서 상호간에 도움을 주기 때문에 프랙탈과 카오스 간의 관계는 밀접할 수밖에 없는 요인이 된다.

프랙탈의 기본적인 성질로는 자기닮음성과 무리수차원이 있다. 자기닮음성은 반복적인 수학방정식의 적용을 통하여 자연계에 존재하는 현상들을 표현할 수 있는 장점을 가지고 있다. 우리는 항상 정수차원을 가정해 왔으나 프랙탈 에서 정수가 아닌 무리수차원의 공간이 존재한다는 것이다. 예를 들면 2.72 6342-의 차원이 존재하게 된다.

수학방정식을 통한 프랙탈 현상의 대표적인 것으로는 만델브로트 집합, 줄리 아 집합, 코호의 눈송이 등이 있다. 그 중에서 코호의 눈송이를 고찰해 보자. 이를 초자연적인 눈송이라고도 부르는데 만드는 방법은 다음과 같다.

먼저 정삼각형을 준비한다. 각 변을 삼등분하고 그 가운데 부분에서 다시 정삼각형을 만든다. 마찬가지 방법으로 각 변을 삼등분해서 계속 정삼각형을 만들어 간다. 그 결과 자연에 존재하는 눈송이와 거의 흡사한 형태의 도형이 생기게 된다. 해안선의 길이가 코호의 눈송이와 유사한 형태라고 가정할 때 해안선의 길이가 무한대라는 이상한 결과도 나오게 된다.

프랙탈은 여러 분야들에 응용될 수 있는데 특히 영상압축에 매우 유용할 것이다. 더군다나 멀티미디어는 많이 다루는 최근의 동향으로 보아 고해상도의 영상을 전송하기 위해서는 상당한 수준의 영상압축이 이루어져야 한다.

그러나 고선명TV(HDTV)의 경우에도 2백대1 수준의 압축률이 한계점이다. 따라서 복잡한 자연계의 대상물이나 현상을 몇개의 수학식으로 표현할 수 있다면 영상을 수십만대 일의 비율로 압축이 가능하므로 그 파급효과는 실로 엄청날 것이다. 전송된 수학식은 순간적으로 그래픽으로 변환되기 때문에 지금의 수준으로는 상상하기 힘든 정도의 영상압축이 가능하다.

프랙탈과 카오스는 서로 불가분의 관계를 맺고 있으며 무질서속에서 질서를 찾고자 하는 연구 분야들이다. 카오스와 프랙탈은 신경망이나 퍼지, 그리고 인공지능 등을 통하여 지능시스템에서의 난제를 보완해 줄 수는 있으나 그 자체만으로는 지능적인 시스템이 되기 어려우며 아직까지 실용적인 면에서는상당한 제한점을 내포하고 있다.