[사이언스 21](126)수학의 7대 난제

지난 2000년, 미국의 클레이수학연구소는 현대 수학의 7대 난제를 제시하고 각각에 100만 달러의 상금을 내걸었다. 이 공모는 기간제한이 없으며, 문제를 풀고 국제 학술지에 게재한 후 2년 동안 검증과정을 거쳐 오류가 없다고 판단되면 상금을 지급한다.

도대체 얼마나 어렵고 중요한 문제이기에 무려 100만 달러나 주는 것일까?

단적인 예로 150년 동안 풀리지 않은 문제로 유명한 ‘리만 가설’은 1859년 독일 수학자 리만(G. Riemann)에 의해 처음 제기된 것으로, 2, 3, 5, 7과 같이 1과 자기 자신으로만 나눠지는 소수에 어떤 패턴이 있다는 내용이 담겨있다.

리만 가설이 풀리면 소수를 쉽게 찾아낼 수 있게 되고, 현재 사용하고 있는 소수를 이용한 ‘공개키 암호체계’를 무력화할 수 있다.

공개키 암호체계는 소수의 자릿수를 수십에서 1백 자리 이상으로 늘려서 암호로 사용하고 있어 슈퍼컴퓨터로 계산하더라도 수천 년이 걸린다. 그러나 리만 가설이 풀리면 소수 패턴을 알아내 소수를 빠르게 구할 수 있게 되고, 이 암호체계는 의미가 없어지게 된다.

이 외에 △타원곡선을 유리수로 정의하는 방정식에 관한 ‘버츠와 스위너톤-다이어 추측’ △어떤 대상체도 모두 기하학 조각의 조합이라는 사실을 증명하는 ‘호지 추측’ △알고 보면 쉬운 문제가 답을 알기 전에도 쉬운 문제인지를 증명하는 ‘P대 NP 문제’ △양자물리학에서 나온 ‘원자 양-밀스 이론’과 ‘질량 간극가설’을 수학적으로 입증하는 ‘양-밀스 이론과 질량 간극 가설’ △기체와 유체의 흐름을 기술하는 편미분 방정식의 해를 구하는 ‘내비어-스톡스 방정식’ △‘푸앙카레 추측’이 수학의 7대 난제다.